Geometría métrica (Lic) - Espacios de métrica interior (Doc)

Profesor: Gabriel Larotonda

Puntaje: 4 puntos Licenciatura / 4 puntos Posgrado

Correlatividades: Geometría Diferencial y Análisis funcional (tp), Topología y Geometría Proyectiva (final)

Carga horaria: 5 horas semanales          

Carreras:    
Licenciatura en Matemática (Or. Pura y Aplicada)
Doctorado en Matemática

Breve descripción del curso:

Estudiaremos la geometría de los espacios de métrica interior (espaces de longueur según Gromov), que incluyen como ejemplos muy relevantes las variedades Riemannianas y Finslerianas, en especial los grupos de Lie y sus espacios homogéneos. 

El enfoque sin embargo es métrico, basado en las ideas de Menger y Wald luego desarrolladas por Gromov para el estudio de grupos hiperbólicos. Los ejemplos clásicos se usarán como motivación. Veremos las diferencias entre los casos clásicos y los no clásicos (infinito dimensionales, métricas de Finsler no diferenciables, etc.). 

La bibliografía básica del curso son los libros de Lang [7], el libro de Jost [6], y el texto de G. Larotonda [8]. 

  1. Variedades diferenciables: repaso de cartas, fibrados vectoriales. Grupos de Lie, espacios homogéneos y álgebras de Lie con su producto local dado por la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff. 
  2.  Métricas Riemannianas en variedades diferenciables, conexión de Levi-Civita. Geodésicas: cálculo variacional. Minimalidad local de las geodésicas (Lema de Gauss). Minimalidad global: teoremas de Hopf-Rinow. Conexiones en general, geodésicas. 

3. Métricas de Finsler, caso clásico y no clásico, conexiones compatibles con la métrica. Transporte paralelo y campos de Jacobi, condiciones de curvatura. 

4. Distancia intrínseca en espacios métricos. Curvas rectificables, reparametrización por longitud de arco. Espacios de métrica interior. Geodésicas. Espacios geodésicos. Ejemplos y contraejemplos clásicos. 

5. Distancia intrínseca en variedades de Riemann/Finsler como caso particular de espacio de métrica interior: métricas infinitesimales versus globales. Ejemplos de geodésicas en espacios vectoriales: la convexidad de la esfera unitaria, el caso estrictamente convexo, el caso de los polítopos. Ejemplos de geodésicas en grupos de Lie con métricas no rimeannianas: métricas invariantes a izquierda/derecha. 

6. Nociones equivalentes de completitud en términos de curvas y esferas en espacios de métrica interior. Teoremas de Cohn-Vossen, como extensión de los Teoremas de Hopf-Rinow. 

7. Nociones de Curvatura según Busemann, Alexandrov (versus caso Riemanniano). Teoremas de proyección a subvariedades convexas en el caso de curvatura no positiva: optimización punto-objeto versus optimización punto-punto. Relación con la métrica en los espacios cociente. 

 

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