Espacios de Hilbert y aplicaciones (Lic)-Espacios de Hilbert (Doc)

Profesor: Esteban Andruchow

Puntaje:  3 puntos Licenciatura- Doctorado

Correlatividades: -

Carga horaria: 4 horas semanales        

Carreras:    Licenciatura en Matemática (Or. Pura y Aplicada)
                     Doctorado en Matemática

Breve descripción del curso:

ESPACIOS DE HILBERT

 

  • Repaso de nociones básicas sobre espacios de Hilbert reales y complejos. Ejemplos elementales. Desigualdad de Schwarz, identidad del paralelogramo.

  • Punto más próximo a un convexo, proyección ortogonal sobre un subespacio. Descomposiciones ortogonales. Funcionales lineales, Teorema de Riesz-Frechet, Lema de Lax-Milgram. Bases ortonormales, desigualdad de Bessel, proceso de Gram- Schmidt. Isometrías.

  • Aplicaciones I. Teorema de Radon-Nikodym. Problema de Dirichlet en un dominio acotado de R^n (usando Riesz-Frechet y Lax- Milgram).

  • Polinomios trigonométricos, transformada de Fourier en la circunferencia.

  • Operadores acotados. Operadores integrales de tipo Hilbert-Schmidt, de tipo Holmgren. Teorema de convexidad de M. Riesz.

  • Aplicaciones II. Transformada de Fourier, teorema de Parseval y desigualdad de Hausdorff-Young. Transformada de Hilbert, transfromada de Laplace, transformada de Hilbert-Hankel.

  • Operadores de Hilbert-Schmidt, espacios de Hilbert de operadores.

  • Aplicaciones III. Inversa de un operador elíptico. Operadores definidos por ecuaciones parabólicas.

  • Determinante  y resolvente de Fredholm. Ejemplos. Indice de Noether, estabilidad.

  • Aplicaciones IV. Operadores de Toeplitz. Operadores de Hankel.

  • Teorema espectral de un operador compacto y simétrico.

  • Inversas de operadores diferenciales. Sistemas de Sturm-Liouville.

  • Espacios de Hilbert de funciones analíticas. Núcleos reproductivos. Espacio de Hardy, espacio de Bergmann. Teorema de Beurling. Factorizaciones.

Contacto

Departamento de Matemática
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