Profesor: Esteban Andruchow
Puntaje: 3 puntos Licenciatura- Doctorado
Correlatividades: -
Carga horaria: 4 horas semanales
Carreras: Licenciatura en Matemática (Or. Pura y Aplicada)
Doctorado en Matemática
Breve descripción del curso:
ESPACIOS DE HILBERT
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Repaso de nociones básicas sobre espacios de Hilbert reales y complejos. Ejemplos elementales. Desigualdad de Schwarz, identidad del paralelogramo.
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Punto más próximo a un convexo, proyección ortogonal sobre un subespacio. Descomposiciones ortogonales. Funcionales lineales, Teorema de Riesz-Frechet, Lema de Lax-Milgram. Bases ortonormales, desigualdad de Bessel, proceso de Gram- Schmidt. Isometrías.
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Aplicaciones I. Teorema de Radon-Nikodym. Problema de Dirichlet en un dominio acotado de R^n (usando Riesz-Frechet y Lax- Milgram).
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Polinomios trigonométricos, transformada de Fourier en la circunferencia.
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Operadores acotados. Operadores integrales de tipo Hilbert-Schmidt, de tipo Holmgren. Teorema de convexidad de M. Riesz.
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Aplicaciones II. Transformada de Fourier, teorema de Parseval y desigualdad de Hausdorff-Young. Transformada de Hilbert, transfromada de Laplace, transformada de Hilbert-Hankel.
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Operadores de Hilbert-Schmidt, espacios de Hilbert de operadores.
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Aplicaciones III. Inversa de un operador elíptico. Operadores definidos por ecuaciones parabólicas.
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Determinante y resolvente de Fredholm. Ejemplos. Indice de Noether, estabilidad.
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Aplicaciones IV. Operadores de Toeplitz. Operadores de Hankel.
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Teorema espectral de un operador compacto y simétrico.
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Inversas de operadores diferenciales. Sistemas de Sturm-Liouville.
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Espacios de Hilbert de funciones analíticas. Núcleos reproductivos. Espacio de Hardy, espacio de Bergmann. Teorema de Beurling. Factorizaciones.