Profesora: Teresa Krick

Puntaje: 4 puntos (Licenciatura). 2 puntos (Doctorado)

Correlatividades: Álgrebra Lineal.

Carga horaria: 6 horas semanales.         

Carreras: 
Licenciatura en Matemática (Or. Pura y Aplicada)
Doctorado en Matemática

Breve descripción del curso:

• Polinomios en una variable con coeficientes en un cuerpo: Máximo común divisor y factorización única (Repaso). Raíces en R[X]: Algoritmos de Descartes y Sturm para determinar el número de raíces reales. Equivalencia de las factorizaciones en Q[X] y Z[X]: Polinomios primitivos, Lema de Gauss, Criterio de Eisenstein. El algoritmo de Kronecker de factorización en Q[X].
• Polinomios en varias variables: Factorización única. Polinomios irreducibles. Especialización y polinomios nulos.
• Ideales de K[X₁,...,X_n]: Ideales monomiales y el Lema de Dickson. Ordenes monomiales. Teorema de la base de Hilbert (Noetherianidad). Algoritmo de división de Hironaka en K[X₁,...,X_n]
• Bases de Gröbner: Definición, equivalencias y propiedades. Algoritmo de Buchberger de construcción de una base de Gröbner. Aplicación a los problemas de pertenencia de un polinomio a un ideal y representación. Comparación con el punto de vista clásico. El teorema de Eliminación. Operaciones con ideales y bases de Gröbner.
• Variedades en Kⁿ: Las correspondencias I vs. V_K(I) y V vs. I_K(V). El radical de un ideal e ideales radicales. Proyecciones de variedades e ideales de eliminación.
• La correspondencia recíproca "ideal radical de C[X₁,...,X_n] y su variedad de ceros en Cⁿ": La Resultante de dos polinomios en una variable. El Discriminante. El teorema de Extensión. El Nullstellensatz. Equivalencias. La correspondencia. La clausura de Zariski de la proyección de una variedad.
• Ideales cero-dimensionales: Sistemas con finitas soluciones en Cⁿ. Ideales cero-dimensionales radicales. Cocientes de anillos polinomiales. Ideales cero-dimensionales y la dimensión del espacio vectorial cociente.
• Descomposición primaria de un ideal: Ideales irreducibles y primarios. Ideales cociente. Descomposición primaria. Componentes aisladas e inmersas. Unicidad de los primos asociados y de las componentes aisladas. Algoritmos para el cálculo de la descomposición primaria de un ideal cero-dimensional (caso racional y caso general).