Profesor: Oscar Bruno
Puntaje: 2 puntos Licenciatura
Correlatividades: Análisis Real y Análisis Complejo
Carga horaria: 10 horas semanales (4 semanas)
Carreras:
Licenciatura en Matemática (Or. Pura y Aplicada)
Breve descripción del curso:
En este curso presentaremos una clase de métodos numéricos, basados en nuevos paradigmas matemáticos, para la simulación computacional de problemas de la ingeniería y las ciencias— incluyendo aplicaciones en electromagnetismo, fluido dinámica, elasto-dinámica, y transporte radiativo. Estos nuevos métodos pueden resolver, con alta eficiencia y precisión, problemas correspondientes a estructuras altamente complejas. Matemáticamente, los métodos propuestos se basan en el uso de discretizaciones basadas en funciones globales, tales como funciones de Green, y nuevas representaciones espectrales en el espacio y el tiempo. En particular, destacaremos ciertas aplicaciones de estos métodos a la optimización de estructuras electromagnéticas, con aplicación al problema de diseño de metamateriales, divisores y acopladores ópticos, así como otros problemas en dominios espaciales generales, incluyendo ecuaciones lineales y no-lineales tales como las ecuaciones de Navier-Stokes (dinámica de fluidos y ondas de choque) y las ecuaciones de Navier (propagación y dispersión de ondas elásticas y sísmicas.
El curso incluirá descripciones de algunos de los elementos clásicos, como la velocidad de convergencia teórica de las series de Fourier dependiendo de la regularidad de las funciones consideradas [1], elementos de la teoría de funciones de Green y las ecuaciones integrales [2], y una descripción de los métodos espectrales clásicos [3,4]. Sobre la base de estas ideas, describiremos el método de continuación de Fourier (FC) [9,11,17-19], que permite la aplicación de métodos espectrales en un extendido rango de problemas, aún en entornos en los que existen, por ejemplo, ondas de choque y regímenes hipersónicos, así como algunos de los métodos modernos para la resolución de problemas electromagnéticos basados en métodos directos de solución [7], y métodos rápidos iterativos basados en ecuaciones integrales [5,8,13,15]. Problemas de optimización serán abordados en el contexto del diseño de dispositivos fotónicos [10,16], así como problemas de transporte radiativo y tomografía [12,14] en contextos de aplicación a la biología, la medicina y otras áreas. Cuestiones relacionadas de matemática puramente teórica, incluyendo el famoso problema de decaimiento de las ondas dispersas [6] podrán ser abordadas, en el contexto de “seminario”, por participantes interesados.