Profesor: Julián Haddad
Puntaje: 1 puntos Licenciatura y Doctorado
Correlatividades: Algebra Funcional (Tp). Análisis complejo/Análisis real (Final).
Carga horaria: 6 horas semanales. 4 semanas
Carreras:
Licenciatura en Matemática (Or. Pura y Aplicada)
Doctorado en Matemática
Breve descripción del curso:
1. Nociones básicas de Geometría Convexa. Conjuntos convexos. Soporte y separación. Funciones convexas. Desigualdad de Jensen. Funciones gauge, soporte y radial.
2. El espacio de los cuerpos convexos. Distancia de Hausdorff. Suma. Dualidad y Polaridad. Volumen. Posiciones. Teorema de selección de Blaschke.
3. Superficie.
Medida de superficie. Curvatura Gaussiana. El problema de Minkowski. Volúmenes mixtos.
4. La desigualdad de Brunn-Minkowski, Principio de concavidad de Brunn, desigualdad de Brunn-Minkowski. Desigualdad isoperimétrica. Desigualdad de Prekopa-Leindler.
5. Funciones log-cóncavas. Marginales de cuerpos convexos, funciones log-cóncavas. Transformada de Legendre, dualidad. El cuerpo de K. Ball.
6. Familias especiales de cuerpos convexos. Cuerpo diferencia, cuerpo proyección, radial mean bodies, cuerpo centroide, cuerpo intersección. Desigualdades asociadas.
7. Desigualdades Reversas. Desigualdad de Rogers-Shephard. Desigualdad de Berwald. Función covariograma, caracterización de símplices, el cuerpo de K.Ball.
8. Desigualdades Geométricas vs Desigualdades Funcionales 1. Fórmulas de co-área. Petty Projection Inequality, Desigualdad de Sobolev e isoperimétrica, desigualdad de Sobolev-Zhang.
9. Desigualdades Geométricas vs Desigualdades Funcionales 2. Desigualdad de Blaschke-Santaló. Versiones funcionales de la desigualdad de Blaschke-Santaló.
10. Desigualdades Geométricas vs Desigualdades Funcionales 3. Busemann-Petty Centroid Inequality, Random Simplex Inequality, otra demostración de la desigualdad de Sobolev-Zhang.
11. Desigualdades Geométricas vs Desigualdades Funcionales 4. Simetrización de Schwarz. Desigualdad de Riesz. Desigualdad de Rogers-Brascamp-Lieb-Luttinger y aplicaciones.
12. Desigualdades Geométricas vs Desigualdades Funcionales 5. La medida de superficie no local, desigualdad de Sobolev fraccionaria. Radial mean bodies. Derivadas fraccionarias