Profesor: Pablo Ferrari
Puntaje: 3 puntos Licenciatura y 3 Doctorado
Correlatividades: Probabilidades y estadística
Carga horaria: 6 horas semanales. Duración 10 semanas
Carreras:
Licenciatura en Matemática (Or. Pura y Aplicada)
Doctorado en Matemática
Breve descripción del curso:
Un proceso puntual es un conjunto localmente finito aleatorio de puntos en un espacio. Por ejemplo las estrellas en el cielo, los instantes de llegada del colectivo a una parada, los centros de las ciudades en un mapa, etc. El objetivo es introducir los conceptos básicos de procesos puntuales a nivel de licenciatura/doctorado en matemática, física y computación, incluyendo algunos temas actuales como la sopa de ciclos Gaussianos, los entrelazamientos aleatorios, las permutaciones espaciales aleatorias y el gas de Bose, los autómatas celulares de colisión de partículas y la relación del proceso de Poisson con la subsecuencia más larga de permutaciones aleatorias
Programa
1. Introducción. Motivación y ejemplos. Dimensión 1. Caracterización de distribuciones. Procesos marcados. Medidas vacías y caracterización de procesos puntuales. Funciones de correlación.
2. Procesos de Poisson. Procesos de Poisson. Teoremas de superposición. Proyecciones. Procesos Bernoulli. Construcción de Neveu. Teorema de Campbell. Fórmula de Slivnyak-Mecke. El funcional característico. Leyes de grandes números. Procesos marcados.
3. Modelos especiales. Procesos de Poisson no estacionarios. Procesos Compuestos. Procesos de Cox.
4. Geometría estocástica. Geometría estocástica. Proceso de Poisson de líneas, planos y de objetos en general. Sopa de ciclos de paseos aleatorios. Entrelazamientos aleatorios.
5. Procesos de Gibbs. Procesos puntuales de Gibbs. Especificaciones. Desigualdad de Holley. Percolación de Bernoulli. Percolación continua. Modelo de Ising continuo. El modelo de aglomerados aleatorios. Transición de fase.
6. Simulación perfecta. Construcción de medidas de Gibbs de baja densidad usando dinámicas de nacimiento y muerte espaciales. Dominación por procesos de ramificación.
7. Gas de Bose. Permutaciones espaciales aleatorias. Límite termodinámico y transición de fase. Gas de Bose, sopa Gaussiana y entrelazamientos Gaussianos.
8. Proceso de hard-rods. Evolución temporal de procesos puntuales. Colisión elástica. Partículas con masa y longitud. Hidrodinámica.
9. Proceso de Hammersley y máxima subsecuencia creciente de permutaciones. Problema de Ulam. Permutaciones aleatorias y procesos puntuales. Comportamiento asintótico y límite hidrodinámico.