Resumen: Presentaremos las ideas fundamentales detrás de la aproximación por métodos adaptativos de soluciones de ecuaciones diferenciales. Mostraremos los beneficios desde el punto de vista práctico y los resultados teóricos que sustentan lo observado en experimentos computacionales. Hablaremos sobre la regularidad Sobolev suficiente para garantizar ciertos órdenes de convergencia con aproximaciones uniformes y la regularidad Besov que implica resultados análogos con mallas adaptadas. La idea es presentar los conceptos fundamentales en esta área de investigación que involucra e interrelaciona teoría de existencia, unicidad y regularidad de ecuaciones diferenciales y también aproximación polinomial a trozos de funciones.