Oscar P. Bruno, Applied and Computational Mathematics, Caltech.

Jueves 14/7, 16 hs. Sala de Conferencias DM-IMAS (2do piso Pab. I)

Resumen:

Así como sucede en la estirada cuerda de una guitarra, en la que cualquier deformación puede expresarse como una suma de de senos y cosenos de una multitud de amplitudes y frecuencias (es decir, puede expresarse como una combinación de "oscilaciones puras", o "vibraciones puras", o "autofunciones"), la física parece empecinada en convencernos de que lo mismo sucede con absolutamente todo: desde el sonido y la luz, hasta la materia, el tiempo, y las leyes que las gobiernan, nuestro entendimiento de las propiedades físicas de lo que nos rodea se basa, en un nivel fundamental, en consideración de autofunciones. Con esta motivación en mente exploramos algunas áreas en la matemática del mundo de las vibraciones, y consideramos, en particular, una cierta combinación especial de autofunciones: la función de Green. Después de repasar las ideas básicas del cálculo práctico de autofunciones, mencionaremos métodos numéricos recientes en los que las autofunciones se calculan, precisamente, utilizando la función de Green que ya mencionamos. Sobre la base  de las funciones de Green, construiremos, estudiaremos y utilizaremos las autofunciones relacionadas con varios problemas físicos, incluyendo, por ejemplo, las oscilaciones que describen perturbaciones en la superficie del vino en una copa (que están dadas por las autofunciones de Steklov), la interacción de la luz con dispositivos nano-ópticos y el diseño de tales dispositivos (autofunciones de Maxwell), la mecánica cuántica y la propagación del sonido (autofunciones de Schrodinger y de Helmholtz), problemas relacionados con la teoría de probabilidades (autofunciones de los operadores Laplace y del Laplaciano fraccionario), y, notablemente, las vibraciones sinusoidales temporales en sí mismas. También consideraremos  brevemente ciertas características geométricas de las autofunciones, tales como la distribución de los correspondientes autovalores (frecuencias de oscilación) y sus "curvas nodales"--es decir, los puntos en el espacio en los que las autofunciones se anulan--incluyendo una discusión con algunos detalles, de las intrigantes líneas nodales de las autofunciones de Steklov relacionadas al mencionado vaso de vino.