Abstract: Voy a describir la historia y algunos desarrollos recientes alrededor de dos problemas: la conjetura de las intersecciones de H. Furstenberg en teoría ergódica, y el problema de las distancias en teoría geométrica de la medida, introducido por K. Falconer. Aunque estos problemas parecen superficialmente muy diferentes, voy a presentar un punto de vista común basados en proyecciones multi-escala y un análisis combinatorio de fractales por medio de “branching numbers”.