Maria Ofelia Ronco, Instituto de Matemáticas, Universidad de Talca, Chile

Miércoles 30/4, a las 14 hs. Sala de Conferencias DM-IMAS (2do piso Pab. I)

Abstract: Las álgebras preLie (también llamadas álgebras simétricas en [5]) son espacios vectoriales equipadas de un producto binario ◦ que satisface la condición

(x ◦ y) ◦ z − x ◦ (y ◦ z) = (x ◦ z) ◦ y − x ◦ (z ◦ y).

Toda álgebra asociativa es un álgebra preLie; pero además las álgebras pre- Lie incluyen las álgebras de operadores diferenciales, y el complejo de co- cadenas de Hochschild de un álgebra asociativa (ver [2]). Claramente, la antisimmetrización del producto ◦ es un corchete de Lie.

En [1], F. Chapoton y M. Livernet describieron el objeto libre para este tipo de álgebras, y posteriormente M. Livernet introdujo en [4] un coproducto compatible con la estructura preLie, y demostró un teorema de rigidez en este contexto.

A partir de trabajos de P.-L. Giscard que buscan descomponer caminos cerrados sobre grafos simples como composiciones de ciclos simples, vamos a dar fórmulas explícitas para proyectar un camino en sus ciclos simples, así como para reconstruir un camino. Nuestro ejemplo se enmarca en el dual del trabajo de M. Livernet, mostramos que el espacio de caminos cerrados sobre un grafo, con un punto inicial, admite un coproducto co-preLie y un producto permutativo, y a partir de ambos damos fórmulas para las proyecciones y la reconstrucción de la identidad. Este resultado implica obtener algunas fórmulas para el problema de sand pile en dimensión uno.

Este trabajo es un ejemplo de descomposición y reconstrucción de álgebras (no necesariamente conmutativas o asociativas) en elementos indescomponibles. También trataremos de introducir algunos problemas interesantes relacionados con este tipo de estructuras.

References

[1] F. Chapoton, M. Livernet, Pre-Lie algebras and the rooted trees operad, Intern. Math. Research Notices 8 (2001) 395-408.
[2] M. Gerstenhaber, The cohomology structure of an associative ring, Ann. Math. (2) 78 (1963) 267-288.
[3] P.-L. Giscard, P. Rochet, R. C. Wilson, A Hopf algebra of counting cycles, Discrete Mathematics 341 (2018) 1439-1448.
[4] M. Livernet, A rigidity theorem for pre-Lie algebras, J. of Pure and Applied Algebra 207, N 1 (2006) 1-18.
[5] D. Segal, The structure of complete left-symmetric algebras, Math. Annalen 293 (1992) 569-578.

Short bio: María Ronco se doctoró en la Universidad de Buenos Aires, bajo la dirección del Prof. Orlando Villamayor, y realizó un post-doctorado en el Institut de Recherche Mathématique Avancée de la Univ. de Estras-burgo. Desde 2011 es Profesor Titular del Instituto de Matemáticas de la Universidad de Talca, en Chile.
Ha visitado distintas instituciones de investigación en el marco de proyectos internacionales, como el Newton Institute en Cambridge, el Instituto Mittag Leffler, el Instituto Max Planck de Bonn, y el Institut de Mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche.
Su investigación se concentra en algunos aspectos de  ́algebra universal, m ́as precisamente en modelos combinatorios para operades algebraicas con enf́asis en operads diferenciales.