1. Conjuntos, relaciones y funciones.
Conjuntos: definiciones, pertenencia, inclusión, operaciones (unión, intersección, diferencia). Leyes de De Morgan. Cardinal de conjuntos finitos. Tablas de verdad y relación con lógica proposicional. Igualdad de conjuntos (diagramas de Venn, tablas). Producto cartesiano. Conjunto de Partes (y su cardinal para conjuntos finitos).
Relaciones: definición, su representación como grafos. Relaciones de orden y equivalencia. Clases de equivalencia. Clausura transitiva.
Funciones: Definición. Composición. Función inyectiva, sobreyectiva, biyectiva, inversa.
2. Números naturales e Inducción.
Definición intuitiva de los números naturales. Principio de inducción. Sumatoria y productoria. Factorial y su interpretación combinatoria (biyecciones en conjuntos finitos). Número combinatorio y su interpretación combinatoria (subconjuntos en un conjunto finito), escritura como suma de dos combinatorios, definición recursiva. Inducción global y principio de buena ordenación. Definición de los números naturales por los axiomas de Peano.
3. Números enteros.
Definición del conjunto de números enteros. Divisibilidad y propiedades. Números primos y compuestos. Algoritmo de división. Aplicaciones del algoritmo de división: escrituras en distintas bases, sistemas de numeración. Máximo común divisor. Algoritmo de Euclides, escritura del máximo común divisor como combinación lineal. Números coprimos. Propiedades. Teorema Fundamental de la Aritmética. Criba de Eratóstenes. Aplicaciones del TFA (cantidad de divisores, cálculo de máximo común divisor y mínimo común múltiplo). Congruencias, propiedades y aplicaciones (criterios de divisibilidad). Restos modulo m. Grupos y Anillos (comparación de Z/mZ con Z). Ecuaciones lineales diofánticas y ecuaciones de congruencia. Sistemas de ecuaciones de congruencia. Teorema Chino del Resto. Pequeño Teorema de Fermat. Algoritmos probabilísticos de primalidad de Euler-Fermat. Aplicación: Algoritmo criptográfico RSA.
4. Números complejos.
Forma binomial y forma trigonométrica/exponencial. Fórmulas de Moivre. Raíces n-ésimas de números complejos. Grupos de raíces de la unidad.
5. Polinomios con coeficientes en un cuerpo.
Cuerpos. Definición y ejemplos, Q, R, C, Z/pZ con p primo. Anillo de polinomios K[x]: generalidades (suma, producto, unidades), grado, divisibilidad, irreducibles, algoritmo de división. Paralelismo con Z: Máximo común divisor, algoritmo de Euclides, polinomios coprimos. Factorización única.
Evaluacion de polinomios. Raíces. Teorema del resto. Resolución de ecuaciones cuadráticas en K[X]. Multiplicidad. Equivalencias. Cota para el número de raíces con multiplicidad sobre un cuerpo. Teorema de Gauss para calcular raíces racionales de polinomios en Q[X].
Teorema Fundamental del Algebra, irreducibles de C[X]. Raíces complejas no reales de polinomios reales. Factorización en R[X]. Ejemplos de factorización en K[X] para distintos cuerpos K.
BIBLIOGRAFIA
E. Gentile. Notas de Algebra I. 4ta. ed. EUDEBA, 1988.
E. Gentile. Aritmética Elemental. Monografía científica de la OEA, no. 25, 1985.
G. Birkhoff, S. Mc Lane. Algebra moderna. Vicens-Vives (4ta ed.), 1970.
T. Krick. Álgebra I. Fascículo 9, Cursos de Grado, Departamento de Matemática, FCEN, Universidad de Buenos Aires, 2017.
C. Sánchez. Lecciones de Álgebra. Fascículo 6, Cursos de Grado, Departamento de Matemática, FCEN, Universidad de Buenos Aires, 2014.
1er. cuatrimestre 2026
CORRELATIVAS: no tiene.