1. Cuerpos y Extensiones. Anillos, cuerpos. Cuerpos de fracciones. Característica, cuerpos primos. Algebra, extensiones de cuerpos. Adjunción (Algebraica y racional).

2. Polinomios y fracciones racionales. Algebra universal de un semigrupo. Algebra de polinomios, especialización, dependencia algebraica, prolongamiento de morfismos. Algebra de fracciones racionales, especialización, prolongamiento de morfismo.

3. Factorización de polinomios. Polinomios primitivos, lema de Gauss. Levantamiento de factorizaciones, factorialidad en los anillos de polinomios. Criterio de irreducibilidad de Eisenstein, aplicaciones.

4. Extensiones de grado finito. Extensiones de tipo finito, extensiones simples. Extensiones de grado finito. Clase distinguida de extensiones. Condiciones de clase distinguida para extensiones de grado finito.

5. Extensiones algebraicas. Elementos algebraicos, polinomios minimal. Elementos transcedentes. Extensiones algebraicas, relación con las extensiones de grado finito, condiciones de clase distinguida. Extensiones trascendentes, extensiones puramente trascendentes.

6. Cuerpos algebreaicamente cerrados. In troducción de una raíz para un polinomio no constantes. Factorización lineal y cantidad de raíces de polinomios no constantes. Cerradura algebraica. Cuerpos algebraicamente cerrados, condiciones equivalentes.

7. Clausuras algebraicas. Clausuras algebraicas, prefinalidad, unidad (salvo isomorfismos). Teorema de prolongamiento de isomorfismos, consecuencias. Existencias de clausuras algebraicas.

8. Cuerpos de descomposición. Cuerpos de descomposición de un conjunto de polinomios no constantes. existencia y unicidad (salvo isomorfismos), caso de conjuntos finitos.

9. Conjuntación. Acciones compatibles de grupos en conjuntos y representaciones de grupos, conjugación, órbitas. Elementos conjugados y polinomios irreducibles. Endomorfismos de extensiones algebraicas. Cuerpos conjugados.

10. Extensiones normales. Extensiones normales, condiciones equivalentes. Extensión de escalares en extensiones normales. Infinimo y supremo de familias de extensiones normales. Extensiones de grado finito.

11. Independencia lineal y cantidad de morfismos. Teorema de Dadekind, consecuencia sobre la cantidad de morfismos. Transitividad de la cantidad de morfismos, consecuencias.

12. Extensiones separables. Elementos (algebraicos) separables. Extensiones (algebraicas) separables, condiciones de clase distinguida. Extensiones separables de grado finito y cantidades de morfismos. Polinomios separables. Teoremas del elemento primitivo. Criterio de separabilidad de Jacobson.

13. Extensiones galoisinas. Extensiones galoisianas, condiciones equivalentes. Consecuencias de su identidad con las extensiones normales y separables: polinomios minimales, extensión de escalares en extensiones galoisianas de grado finito.

14. Teoría de Galois. Subextensiones normales de extensiones galoisianas. Grupos finitos de automorfismos, teorema de Artin. Teorema fundamental de Galois, consecuncias.

15. Extensiones radiciales. Elementos radiciales. Extensiones radiciales, condiciones de clase distinguida. Extensiones radiciales de grado finito. Cerradura radicial. Cuerpo de invariantes de extensiones normales, estrcutura de extensiones normales.

16. Estructura de extensiones algebraicas. Extensiones (algebraicas) puramente inseparables, su identidad con las extensiones radiciales. Cerradura separable (en una extensión algebraica). Estructura de extensiones algebraicas. Grados de separabilidad e inseparabilidad, su relación con la cantidad de morfismos y transitividad. Multiplicidad de las raices de un polinomio irreducible.

17. Cuerpos perfectos. Cuerpos perfectos, condiciones equivalentes. Subcuerpos perfectos generado por un cuerpo en la clausura algebraica.

18. Norma y traza. Norma y traza de extensiones de grado finito, propiedades algebraicas, transitividad, relación con los coeficientes de polinomio minimal. Separabilidad y traza, discriminantes de la forma traza en extensiones separables.

19. Introducción a la cohomología Galoisiana. Independencia algebraica, de automorfismos de extensiones galoisianas. Teorema de la base normal para extensiónes galoisianas. Teorema 90 de Hilbert, caso general.

20. Extensiones abelianas y extensiones cíclicas. Propiedades generales de las extensiones abelianas y de las extensiones cíclicas, como extensiones galoisianas. Bases normales de extensiones cíclicas. Teorema 90 de Hilbert, caso cíclico. Extensiones cuadrátivas.

21. Cuerpos finitos. Estructura de los cuerpos finitos y de sus grupos de automorfismo. Clasificación de los cuerpos finitos. Extensiones de grado finito de cuerpos finitos, generadores canónicos de los grupos de Galois, suryectividad de la norma y de la traza.

22. Raices de la unidad. Estructura y propiedades de los grupos de raices n-ésimas de la unidad de un cuerpo, raíces n-ésimas primitivas. Estructura del grupo de raíces de la unidad de un cuerpo algebraicamente cerrado.

23. Cuerpos ciclotómicos. Propiedades generales de los cuerpos ciclotímicos. Estructura del grupo de unidades del anillo de enteros módulo n. Polinomios ciclotímicos, criterio de irreductibilidad, irreductibilidad sobre el cuerpo racional.

24. Extensiones cíclicas y ecuaciaones. Extensiores cíclicas de grado finito y ecuaciaones binómicas. Extensiones abelianas de grado p, en características p, y ecuacionaes de Artin-Schreier.

BIBLIOGRAFIA

Artin, Emile: Galoi Theory, Notre Dame, Souti Bend, 1955.
Bourbaki, N.: Algebre, Chapite IV (Polynomes et fractions rationnelles)-Chapite V V V (Courps conmutatifs,. Hermann, París, 1959.
Gentile, E.R.: Teoría de cuerpos, Notas de Matemática, IMAF (Universidad de Córdoba). Córdoba, 1969.
Jacobson, Nathan: Lectures in abstract algebra, Volumen III (Theory of Fieds and Galois Theory), Van Nostrand Princeton, 1964.
Lang, Serge: Algebra, Addison-Wesley, Reading, 1965.

CORRELATIVA: Álgebra II