1. Espacios normados, propiedades elementales y ejemplos. Espacios de Banach. Funcionales lineales. Teorema de Hahn-Banach. Operadores lineales. Teoremas de la aplicación abierta y del grafo cerrado. Principio de acotación uniforme. Teorema de Stone-Wierstrass. Teorema de representación de Riesz (dual de C(X)). Espacios L^p. Series de Fourier. Distintos tipos de convergencia. Ejemplo de serie divergente de una función continua.
2. Espacios de Hilbert, propiedades y ejemplos. Propiedades elementales. Lema de Riesz. Espacio H ². Operador shift, subespacios invariantes. Sistemas y bases ortonormales. Operadores en espacios de Hilbert, ejemplos. Operadores normales y autoadjuntos, positivos. Proyectores.
3. Topologías débiles. Topología débil y débil* en un espacio de Banach. Teorema de Alaoglu. Reflexividad. Lema de Goldstine. Forma geométrica del Teorema de Hahn-Banach.
4.  Operadores compactos. Espectro de un operador. Propiedades espectrales de los operadores compactos. Teoría de Riesz-Fredholm. Alternativa de Fredholm. Aplicaciones. Problema de Dirichlet para un dominio acotado de R 3 con borde suave.

5. Operadores autoadjuntos. Propiedades espectrales. Descomposición espectral de un operador compacto y autoadjunto. Aplicaciones sistema de Sturm-Liouville regulares.

6. Cálculo funcional. Aplicaciones. Medidas espectrales. Resoluciones de la identidad. Teorema espectral de un operador autoadjunto. Transformada de Fourier-Plancherel.

BIBLIOGRAFIA

• J.B.Conway, “A Course in Functional Analysis” Graduate Texts in Math. 96, Springer, New York, 1985.
• C. Clason, "Introduction to functional analysis" Compact Textbooks in Mathematics. Cham: Birkhäuser, 2020.
• Y. Katznelson, “An introduction to harmonic analysis”, Dover, London, 1969.
• P.D. Lax, “Functional Analysis”, Wiley, New York, 2002.
• J. Muscat, "Functional analysis. An introduction to metric spaces, Hilbert spaces, and Banach algebras." 2nd ed. Cham: Springer, 2024.
• M. N. Reed, B. Simon, “Methods of modern mathematical physics I”, Academic Press, New York, 1974.
• W. Rudin, "Functional Analysis", McGraw Hill, New York, 1991.
• F. Trèves, "Topological vector spaces, distributions and kernels", Dover Publications, Inc., Mineola, NY, 2006.

1er. Cuatrimestre 2026

CORRELATIVAS: Análisis Real y Análisis Complejo