1. Teorema de la función implícita. Aplicaciones. Variedades topológicas. Cartas y atlas diferenciables de una variedad topológica. Estructuras diferenciales. Variedades diferenciales. Subvariedades de Rn. Caracterizaciones. Criterio práctico para la construcción de variedades diferenciables. Ejemplos.

2. Funciones diferenciables. Curvas en variedades diferenciables. Vector tangente y espacio tangente a una subvariedad en Rn. Vector tangente y espacio tangente a una variedad diferenciable.

3. Diferencial de una función diferenciable. Vector tangente a una curva. Vinculación entre el espacio tangente a una subvariedad de Rn y el que tiene como variedad diferenciable. Parametyrizaciones de una subvariedad de R*. Inmersiones y sumersiones. Propiedades y ejemplos. Subvariedades inmersas y sumergidas.Cartas adeptadas. Valores regulares y críticos de una función diferenciable. Propiedades. Grupos de Lie. Ejemplos.

4. Fibrado tangente. Campos de vectores. Ejemplos. Curvas integrales, existencia y unicidad. Flujo local de un campo de vectores. Completitud. Criterio para extender curvas integrales. Propiedades del flujo macimal. Grupo uniparamétrico de difeomorfismos.

5. Derivaciones y corchete de Lie. Propiedades. Derivada de Lie. Teorema de Frobenius. Fibrado cotangente y 1-formas diferenciables.

6. Tensores y k-formas diferenciales. Representación local. Producto tensorial y producto exterior. Tensores diferenciales interpretados como aplicaciones F(M)-multilíneales. Diferencial exterior. Propiedades.

7. Partición de la unidad. Variedades orientables. Propiedades. Integración en variedades orientables. Variedades con borde. Teorema de Stokes.

8. Conexiones. Derivación covariante. Tensores de curvatura y de torsión. Derivación covariante de tensores. La fundación de convexión asociada. Derivación covariante de campos de vectores a lo largo de apliaciones. Derivación covariante a lo largo de curvas. Traslación paralela. Geodésicas de una conexión. Conexión completa. El spray geodésico. Vinculación entre las curvas integrales del spray. El flujo geodésico y la función exponencial. Variedades de Riemann. Métricas de Riemann. Elemento de volumen. Subvariedades Riemannianas. Conexión Riemanniana y de Levi-Civita. Curvatura seccional. Inmersiones isométricas. Segundo tensor fundamental de una inmersión isométrica. Ecuaciones de Gauss, curvatura de Gauss y la aplicación de Gauss.

BIBLIOGRAFIA

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• Gromoll, D., Klingenberg, W., Meyer, W., Riemannsche Geometrie im Groen. Springer-Verlag, Berlin, New York, 1968.
• Hicks, N.J., Notes on Differential Geometry, C. Van Nostrand, Princeton, New Jersey, 1964.
• Keilhauer, G., Geometría Diferencial I, Cursos y Seminarios de Matemática, Fascículo 38, 1995.
• Larotonda, A.R., Algebra Lineal y Geometría, Eudeba, 1977.
• Spivak, M., Calculus on Manifolds, W.A. Benjamìn Inc., 1965.

CORRELATIVAS: Geometría Proyectiva y Topología.