Contenido de la materia:

1. Grupos topológicos y grupos de Lie, grupos de Lie clásicos, componentes conexas.

2. Álgebras de Lie. Álgebras de Lie lineales y álgebras de Lie clásicas. El álgebra de Lie de un grupo de Lie. Ideales, Cocientes, Derivaciones, Representación adjunta. Producto semidirecto.

3. La función exponencial de matrices, La función exponencial en un grupo de Lie. Correspondencia subgrupos-subálgebras para los grupos de Lie clásicos. Formas reales: ejemplo de so(3,R), su(2), sl(2,C).

4. Representaciones I. La representación adjunta y la forma de Killing. Producto tensorial de representaciones, dual y Hom.

5. Álgebras de Lie nilpotentes y solubles. Serie derivada y serie central.

El radical. Teoremas de Lie y de Engel. Criterios de Cartan.

6. El Casimir. Lemas de Whitehead y Teorema de Weyl de completa reducibilidad. Representaciones de sl(2,C).

6. Descomposición de un álgebra de Lie a partir de una subálgebra de Cartan, descomposición triangular. Subálgebras de Cartan abstractas. Espacios de pesos generalizados. Subálgebras de Cartan y elementos regulares.

7. Sistemas de raı́ces. Geometrı́a en el espacio real generado por las raı́ces. Axiomática de los sistemas de raı́ces. Reflexiones en el espacio euclı́deo. Raı́ces simples. Matriz de Cartan. Diagramas de Dynkin. Clasificación de las matrices de Cartan y los diagramas de Dynkin. Sistemas de raíces de las álgebras de Lie clásicas An=sl(n+1,C), Bn=so(2n+1,C), Cn=sp(n,C), Dn=so(2n,C).

8. Representaciones II. El Álgebra envolvente universal. Representaciones de dimensión finita. Módulos de peso. Módulos de Verma. Ejemplo: representaciones de sl(3,C).