CONTENIDO DE LA MATERIA:

1. Anillos de enteros: Órdenes. Ideales fraccionarios. Factorización en ideales primos. Grupo de clases. Extensiones cuadráticas y ciclotómicas.

2. Cuerpos locales: Lugares y valores absolutos. Completaciones. Fórmula del producto. Método de Newton ultramétrico y Lema de Hensel. Extensiones no ramificadas y grupo de Galois. Sı́mbolo de Artin.

3. Geometrı́a de números: Reticulados de Rn . Teorema de Minkowski. Grupo de clases de un cuerpo de números. Finitud del grupo de clases. Teorema de las unidades de Dirichlet.

4. Ramificación: Extensiones mansas y salvajes. Grupos de descomposición y de inercia. Inercia superior.

5. Cohomologı́a de Galois: Grupo de Brauer de un cuerpo. Teorema de Shafarevich. Adèles e idèles. Grupos de clases generalizados. Ley de reciprocidad global. Núcleo de la aplicación de reciprocidad.

6. Teorı́a de cuerpos de clases: Teorı́a local. Teorı́a de Kummer. Discriminante y diferente. Teorı́a global.

7. Problema inverso de Galois: Teorema de Kronecker–Weber. Cuerpo de clases de Hilbert. Teorema del ideal principal. Multiplicación compleja.

8. Introducción a la teorı́a de curvas elı́pticas: Teorema de Nagell-Lutz. El grupo de puntos racionales. Teorema de Mordell. Aplicaciones a la criptografı́a.