CONTENIDO DE LA MATERIA:

1. Generalidades sobre anillos conmutativos. Definiciones básicas, morfismos, ideales.Ideales maximales y primos. Nilradical y radical de Jacobson de un anillo, irreducibles. Dominios de factorización única. Repaso breve de módulos. Producto tensorial y extensión de escalares.
2. Anillos locales. Lemma de Nakayama y consecuencias. Anillos y módulos de fracciones.
3. Condiciones de cadena. Anillos noetherianos y artinianos. Teorema de las bases de Hilbert.
4. La traducción geométrica. Variedades algebraicas afines. morfismos de variedades. Teorema de ceros de Hilbert. Primeras nociones sobre dimensión
5. Dependencia entera. “Going-down & going-up”. Lema de normalización de Noether.
6. Dimensión. Familias secantes. Teorema de la dimensión de la fibra.
7. Algunos resultados sobre el número y grado de ecuaciones. Teorema de Kronecker: toda variedad algebraica se puede dar por n+1 ecuaciones. Teorema de Eisenbud-Evans-Storch: toda variedad algebraica se puede dar por n ecuaciones. Definición de grado de una variedad. Teorema de Kronecker con cotas sobre el grado de ecuaciones.
8. Descomposición primaria de ideales en anillos noetherianos.
9. Anillos y variedades regulares. Puntos regulares de variedades algebraicas. El criterio del jacobiano. Propiedades básicas de anillos locales regulares. Sucesiones regulares, intersecciones completas.
10. Anillos y módulos Cohen-Macaulay. Definiciones y propiedades básicas. “Macaulay’s Unmixedness Theorem”.
11. Completaciones. Filtraciones. Lema de Artin-Rees. Teorema de intersección de Krull. Lema de Hensel. Levantamiento de idempotentes. Teorema de estructura de Cohen. Anillos de series formales.