Resumen

Comenzamos la charla repasando la desigualdad clásica de Poincaré y varias de sus generalizaciones y mejoras, mostrando como todas éstas pueden obtenerse de una manera simple y en dominios muy generales.

Esta desigualdad tiene numerosas consecuencias y aplicaciones. Mostramos como se usa para analizar el error cuando se aproxima por polinomiales a trozos una función perteneciente a un espacio de Sobolev. En particular, mostramos la relación entre el orden del error y la regularidad de la función aproximada. Esto muestra la necesidad de introducir espacios de Sobolev fraccionarios en el contexto de la teoría de aproximación.

Introducimos entonces las distintas versiones de normas de Sobolev fraccionarias y presentamos varios resultados relacionados con éstas incluyendo desigualdades de tipo Poincaré y el comportamiento de las seminormas de orden s < 1 cuando s tiende a 1.

Finalmente analizamos la relación entre los espacios de Sobolev fraccionarios y el método de interpolación real de espacios de Banach y presentamos resultados en dominios muy generales.