Resumen

En el estudio de la dinámica de operadores lineales en espacios de Banach o Hilbert, la hiperciclicidad ha sido un concepto central: un operador $T$ se dice hipercíclico si existe un vector cuya órbita $\{T^{n}(x) : n \in \mathbb{N}\}$ es densa. Más recientemente (Bayart–Grivaux, 2006), se han introducido versiones cuantitativas de esta noción, entre ellas la hiperciclicidad frecuente, donde se exige que la órbita visite todo abierto no vacío con una frecuencia positiva. Más precisamente, si $n_k$ son los tiempos de visita a un abierto $U$, entonces existe una constante $C > 0$ tal que $n_k \leq Ck$.

Por otro lado, la recurrencia frecuente, una noción más reciente en dinámica lineal (Bonilla–Grosse-Erdmann–Peris–López, 2022), exige que los tiempos de visita tengan densidad inferior positiva, pero solo para los abiertos que contienen al vector inicial $x$. A diferencia de la hiperciclicidad frecuente, la recurrencia frecuente no requiere que la órbita sea densa, sino que los retornos al entorno del punto ocurran con frecuencia cuantificable.

En esta charla exploraremos ambas nociones, presentando un panorama general del área. En particular, mostraremos resultados que implican la existencia de medidas ergódicas asociadas al sistema, y construiremos explícitamente vectores frecuentemente hipercíclicos para el operador $2B$, donde $B$ es el operador backwardshift en los espacios $c_0$ y $\ell^p$. Llamativamente, la construcción de vectores frecuentemente recurrentes es más delicada, ya que impone restricciones aritméticas. Un conocido resultado de Furstenberg establece que los tiempos de visita de un vector recurrente poseen una estructura aritmética rica: existe un conjunto $A \subset \mathbb{N}$ tal que el conjunto de tiempos de retorno contiene todas las sumas finitas de elementos de $A$.

Para construir vectores frecuentemente recurrentes, necesitamos primero entender cómo se generaliza el teorema de Furstenberg al contexto de recurrencia frecuente. Presentaremos una familia que resuelve este problema y la utilizaremos para construir vectores frecuentemente recurrentes no triviales (es decir, ni frecuentemente hipercíclicos ni periódicos) para el operador $2B$.

Estos últimos resultados forman parte de un trabajo en colaboración con Santiago Muro.