Resumen

La categoría de representaciones de dimensión finita de sl(n,C) es una categoría tensorial semisimple. En particular si L es una representación simple de dimensión finita entonces el producto tensorial L ⊗ C^n se debe descomponer como suma directa de representaciones simples. La regla de Pieri da esta descomposición en términos de la parametrización de las representaciones simples por su peso máximo: Si a = (a_1, ..., a_n) es un peso dominante, el producto tensorial L(a) ⊗ C^n es isomorfo a la suma directa de representaciones L(a + e_i) siempre que a + e_i sea un peso dominante, cada una de ellas con multiplicidad 1.

Si pasamos a sl(∞), casi ningún ingrediente de la receta anterior funciona. Las representaciones de dimensión finita son triviales, las categoría tensoriales interesantes de sl(∞) no son nunca semisimples, sus objetos simples no tienen una clasificación clara, e incluso la noción de peso máximo tiene sutilezas. Lo único evidente es el análogo de C^n, que es la representación natural V [vectores columna infinitos con finitas entradas no nulas]. En esta charla voy a dar una regla de Pieri para módulos de la forma L ⊗ V donde V es la representación natural  y L es una representación simple, integrable y de peso máximo para alguna subálgebra de Borel [para sl(n) una representación simple e integrable es automáticamente de dimensión finita, y a posteriori  esto dice que es de peso máximo para cualquier subálgebra de Borel]. Los módulos que aparecen con esta construcción son [en general] no semisimples, de largo infinito y con propiedades  poco habituales, así que la mayor parte de la charla se va a dedicar a estudiar ejemplos.