Resumen

Sea  (M,g) una variedad riemanniana cerrada  de dimensión al menos 3.  El Laplaciano conforme es el operador lineal elíptico definido por
                                     

                                                                                                        L_g:=4(n-1)/(n-2)\Delta_g +S_g,

donde \Delta_g y S_g denotan el operador de  Laplace-Beltrami y la curvatura escalar, respectivamente. Este operador es importante desde el punta de vista geométrico porque determina como cambia la curvatura escalar en una clase conforme

El espectro del Laplaciano conforme es una sucesión no decreciente de autovalores que tiende a infinito. El signo de cada autovalor es un invariante conforme. Es bien sabido que en cada clase conforme existe una métrica de curvatura escalar constante y su signo coincide con el signo  del primer autovalor del Laplaciano conforme.  Por lo tanto, hay obstrucciones a la existencia de métricas con primer autovalor no nulo.  Sin embargo,  no hay obstrucciones para la existencia de métricas con primer autovalor negativo.

Sea \Lambda_0(M) el mínimo número de autovalores no positivos que un Laplaciano conforme de una métrica de M puede tener. En esta charla, mostraremos que para todo   k mayor o igual que  \Lambda_0 (M),  existe una métrica riemanniana  tal que el Laplaciano conforme tiene exactamente k autovalores negativos. También discutiremos cotas superiores de \Lambda_0 (M) y \Lambda(M), la cantidad mínima de autovalores negativos que un Laplaciano conforme admite.  Esta charla está basada en un trabajo conjunto con Jimmy Petean.