Resumen

Presentaré un trabajo reciente en colaboración con Juan Sabia en el cual exhibimos una familia de infinitos Dominios Principales (DP)  que no son Dominios Euclídeos (DE).

La importancia de los Dominios de Factorización Única (DFU) en la resolución de ecuaciones algebraicas es conocida. En tal contexto, es un resultado fundamental que todo DE es un DP, y que todo DP es un DFU. Sin embargo, las implicaciones recíprocas no son ciertas.

En Teoría de Números, hay algunos ejemplos conocidos de DP que no son DE. Quizás el ejemplo más famoso es Z[(1+√-19)/2], el anillo de enteros de Q[√-19]. Dedekind probó que este dominio no es euclídeo con respecto a la norma usual, mientras que Motzkin demostró que no es euclídeo ya que no admite función euclídea alguna. Sin embargo, estos ejemplos resultan rígidos en el sentido de que no es posible construir otros ejemplos usando técnicas similares, ya que dependen de ciertas coincidencias aritméticas propias de tales anillos.

Un ejemplo menos conocido es el anillo R[X,Y]/(X^2+Y^2+1). Samuel demostró que este anillo es un DFU, y se ha demostrado que este ejemplo es efectivamente un DP no euclídeo.

La idea de conseguir una demostración autocontenida y natural de este resultado en mi tesis de licenciatura, bajo la dirección de Teresa Krick, me permitió extenderlo de manera inmediata a una familia (infinita) más general.

En esta charla contaré una generalización aún mayor que realizamos recientemente con J. Sabia.