Diciembre
1 de diciembre: XXVIII ERAG
Noviembre
24 de noviembre: Charly Di Fiore, Universidad de Buenos Aires.
Suavidad y cohomología de Hochschild de categorías k-lineales (ver video)
El tema principal de esta charla va a ser tratar de probar que ciertas k-algebras, o más precisamente sus categorías derivadas, son suaves. Para esto voy a empezar repasando distintas nociones en la literatura: suave, regular y saturado a derecha.
Por otro lado, dada una k-álgebra conmutativa que es intersección completa, voy a enunciar dos teoremas clásicos sobre la acción de su cohomología de Hochschild en su categoría derivada y explicar cómo generalizarlos.
La idea es plantear un par de preguntas que surgen naturalmente de trabajo en conjunto con G. Stefanich sobre ciertas categorías k-lineales. Queremos ver que son suaves pero solo entendemos su cohomología de Hochschild en el sentido de que se comporta como en el caso del párrafo anterior.
17 de noviembre: Julia Plavnik, Indiana University Bloomington.
Álgebras en categorías de fusión de tipo grupo (ver video)
Las categorías de fusión aparecen naturalmente en muchas áreas de matemática y física, como en la teoría de campos conformes, invariantes de nudos, subfactores y álgebras planares, y en representaciones de álgebras de Hopf y grupos cuánticos.
En esta charla presentaremos la definición de categoría de fusión y algunos ejemplos importantes. Luego nos adentraremos en su teoría de representaciones; introduciremos las nociones de categorías módulo y álgebras en categorías de fusión, y ejemplos de las mismas. Luego explicaremos cómo utilizar ciertas álgebras en una categoría para construir álgebras en la categoría dual y aplicaremos esta técnica al caso de las categorías de fusión de tipo grupo. Esta charla está basada en un trabajo en conjunto con Y. Morales, M. Müller, A. Ros Camacho, A. Tabiri y C. Walton.
10 de noviembre: Pablo Zadunaisky, Universidad CAECE.
3 de noviembre: Marco Pérez, Universidad de la República Uruguay.
Pares de cotorsión cortados (ver video)
En esta charla, presentaré el concepto de pares de cotorsión cortados a lo largo de subcategorías de una categoría abeliana. Esto da lugar a una relativización de los pares de cotorsión completos, además de presentar herramientas para encontrar aproximaciones de objetos restringidos a ciertas subcategorías.
Daremos algunas aplicaciones en los contextos de álgebra homológica Gorenstein para módulos sobre un anillo, así como también caracterizaciones de la Conjetura de la Dimensión Finitista, y de la existencia de adjuntos de funtores de Serre. Si el tiempo lo permite, veremos además una descripción de pares de cotorsión en categorías trianguladas mediante co-t-estructuras.
Trabajo en conjunto con Mindy Huerta (Instituto de Matemática y Estadística - Universidad de la República) y Octavio Mendoza (Instituto de Matemáticas - Universidad Nacional Autónoma de México).
Octubre
27 de octubre: Eduardo Marcos, University of São Pablo.
Resolving by a free action linear category and applications to Hochschild-Mitchell (co)homology (ver video)
Let C be category, over commutative ring k, provided with an action of a group G. Its Hochschild-Mitchell homology and cohomology are denoted by HH_*(C) and HH*(C). Let C[G] be the skew-category. If the action of G is free on the objects of C, and if the coinvariants and invariants functor are exact, we obtain isomorphisms HH_*(C)_G ≃ HH_* ^{1}(C[G]) and [HH(C)]^G ≃ HH*_{1} (C[G]), where {1} is the trivial conjugacy class of G.
Using an auxiliary category MGC we show that these isomorphisms also holds if the action is not free, in particular they hold for Hochschild (co)homology of a k-algebra provided with an action of G by automorphisms.
Hence HH*(C)^G is a canonical direct summand of HH*(C[G]), a fact which provides a frame for monomorphisms obtained in [?] and described in low degrees in [?].
Trabajo en colaboración con Claude Cibils.
20 de octubre: Iván Angiono, Universidad Nacional de Córdoba.
Álgebras de Hopf punteadas de crecimiento finito - Parte II (ver video)
13 de octubre: Ignacio Darago, Universidad de Chicago.
Trazas en Categorías (ver video)
6 de octubre: Mariano Suárez Álvarez, Universidad de Buenos Aires.
La acción del primer espacio de cohomología de Hochschild sobre módulos y complejos
Si A es un álgebra, hay una "acción" del primer espacio de cohomología de Hochschild de un álgebra sobre la categoría de módulos del álgebra y sobre su categoría derivada dada por el llamado morfismo característico $\chi:HH^\bullet(A)\to Z_{\mathrm{gr}}(\mathcal D(A))$ al centro graduado de la categoría derivada. En esta charla describiremos esta acción de manera concreta en términos de la noción de «$\delta$-operadores», presentaremos algunos resultados estructurales que establecen una fuerte conexión entre esta acción, la estructura de Lie dada por el corchete de Gerstenhaber sobre la cohomología de Hochschild, y la teoría de Auslander--Reiten del álgebra, y mostraremos que es posible usar toda esta información para construir objetos geométricos naturalmente asociados a las representaciones del álgebra vía su cohomología, en el mismo espíritu que las variedades de soporte pero a partir de la estructura de Lie de la cohomología y no de su estructura asociativa.
Septiembre
29 de septiembre: José Armando Vivero, Universidad de la República Uruguay.
Álgebras Lat-Igusa-Todorov Trianagulares (ver video)
En esta charla voy a trabajar con el concepto de álgebra Lat-Igusa-Todorov (LIT) definido recientemente por D. Bravo, O. Mendoza, M. Lanzilotta y J. Vivero. El objetivo fundamental es explorar el alcance de esta definición. En particular voy a dar condiciones para que un álgebra triangular (T, 0; M, U) sea de tipo LIT en términos de las álgebras T, U y del módulo M. Luego veremos ejemplos interesantes que se desprenden de ese resultado. Para finalizar voy a motivar el planteo de la siguiente interrogante: dadas dos k-álgebras LIT, ¿será que el producto tensorial es LIT? A modo de aplicación del teorema sobre álgebras triangulares, se muestra que si T es una k-álgebra LIT y kQ es un álgebra de caminos de tipo Dynkin, entonces T⊗kQ es de tipo LIT, dando así una respuesta parcial al problema.
22 de septiembre: Gustavo Mata, Universidad de la República Uruguay.
Funciones de Igusa-Todorov generalizadas y álgebras Lat-Igusa-Todorov (ver video)
Las funciones de Igusa-Todorov generalizadas y las álgebras Lat-Igusa-Todorov fueron definidas por D. Bravo, M. Lanzilotta, O. Mendoza y J. Vivero en [1]. En el caso de las álgebras son una generalización de las álgebras de Igusa-Todorov definidas por Wei en [3] y también verifican la conjetura de la dimensión finitista.
En esta charla recordaremos todos estos conceptos. Veremos que las dimensiones asociadas a las funciones de Igusa-Todorov generalizadas, en ciertos casos, coinciden con las dimensiones "clásicas" definidas en [2]. Mostraremos algunas propiedades de las álgebras de Lat-Igusa-Todorov, y finalmente veremos que existen álgebras que no son Lat-Igusa-Todorov.
[1] D. Bravo, M. Lanzilotta, O. Mendoza, J. Vivero, Generalized Igusa-Todorov functions and Lat-Igusa-Todorov algebras J. Algebra 580, pp. 63-83 (2021).
[2] F. Huard, M. Lanzilotta, Selfinjective right artinian rings and Igusa-Todorov functions, Algebr. Represent. Theor., 16 (3), pp. 765-770 (2012).
[3] J. Wei. Finitistic dimension and Igusa-Todorov algebras. Advances in Math, 222, pp. 2215-2226 (2009).
15 de septiembre: Marcos Barrios, Universidad de la República Uruguay.
La función phi de Igusa Todorov (ver video)
En esta charla voy a hablar de la función phi de Igusa Todorov, centrándome en los trabajos realizados junto a Gustavo Mata y Gustavo Rama. Como preámbulo recordaré la definición de esta función junto a elementos preliminares y notaciones básicas (en particular las notaciones de álgebras de caminos). Luego, trabajaré con álgebras “sencillas” (radical cuadrado cero, truncadas) vinculando propiedades de la función phi con la geometría del grafo, como acotaciones y posibles agujeros. También plantearé algunos problemas para álgebras monomiales. Por último, mostraré varios ejemplos para álgebras cuya sizigia enésima no es de representación finita para ningún n, abordando los problemas de finitud y simetría de la función phi.
8 de septiembre: Iván Angiono, Universidad Nacional de Córdoba.
Álgebras de Hopf punteadas de crecimiento finito - Parte I (ver video)
Presentaremos el estado actual de la clasificación de álgebras de Hopf punteadas de dimensión de Gelfand-Kirillov finita (crecimiento finito), con especial énfasis en el contexto de grupos abelianos. Mostraremos cómo aparecen nuevos ejemplos de álgebras de este tipo al fijar condiciones en el problema general de clasificación, las preguntas aún abiertas y su relación con el problema de dimensión finita en característica positiva.
1 de septiembre: Victoria Venuti, Universidad de Buenos Aires.
Cohomología de Hochschild de ciertas álgebras monomiales cúbicas*
Julio
28 de julio: Victoria Venuti, Universidad de Buenos Aires.
Charla reprogramada.
14 y 21 de julio: MCA
7 de julio: Javier Cóppola, Universidad de la República Uruguay.
Cohomología de Hochschild de álgebras de Nichols y conmutatividad graduada trenzada II (ver video)
En problemas relacionados a la clasificación de álgebras de Hopf, se utiliza como herramienta el estudio de las álgebras de Nichols. Estas últimas tienen estructura de álgebra de Hopf trenzada, esto es, son objetos de una categoría trenzada y tienen los mismos mapas que definen a un álgebra de Hopf, pero relacionados mediante la trenza de la categoría.
Por otra parte es sabido que, si A es un álgebra de Hopf, su cohomología de Hochschild a coeficientes triviales H*(A,k) es conmutativa graduada con el producto cup. Cabe entonces la siguiente pregunta: Si ahora A es un álgebra de Hopf trenzada, ¿tiene H*(A,k) alguna propiedad de conmutatividad relacionada con la trenza?
En 2010, Mastnak, Pevtsova, Schauenburg y Witherspoon probaron una propiedad llamada conmutatividad graduada trenzada, bajo hipótesis que permiten ver el anillo de cohomología como un objeto graduado en la categoría trenzada donde se encuentra A. Dichas hipótesis comprenden el caso en el que A es un álgebra de Hopf trenzada en la categoría de módulos de Yetter-Drinfeld sobre un álgebra de grupo kG, si A es de dimensión finita o G es finito.
La idea de estas dos charlas es contarles un par de cosas que estamos trabajando con mi tutora Andrea Solotar en el marco de mi tesis de doctorado, con la motivación de ejemplos como el Plano de Jordan y el Superplano de Jordan (donde tanto A como G se salen de las condiciones de finitud).
Junio
30 de junio: Mariano Suárez Álvarez, Universidad de Buenos Aires.
Determinantes y trazas para álgebras de Calabi-Yau
23 de junio: Javier Cóppola, Universidad de la República Uruguay.
Cohomología de Hochschild de álgebras de Nichols y conmutatividad graduada trenzada I (ver video)
En problemas relacionados a la clasificación de álgebras de Hopf, se utiliza como herramienta el estudio de las álgebras de Nichols. Estas últimas tienen estructura de álgebra de Hopf trenzada, esto es, son objetos de una categoría trenzada y tienen los mismos mapas que definen a un álgebra de Hopf, pero relacionados mediante la trenza de la categoría.
Por otra parte es sabido que, si A es un álgebra de Hopf, su cohomología de Hochschild a coeficientes triviales H*(A,k) es conmutativa graduada con el producto cup. Cabe entonces la siguiente pregunta: Si ahora A es un álgebra de Hopf trenzada, ¿tiene H*(A,k) alguna propiedad de conmutatividad relacionada con la trenza?
En 2010, Mastnak, Pevtsova, Schauenburg y Witherspoon probaron una propiedad llamada conmutatividad graduada trenzada, bajo hipótesis que permiten ver el anillo de cohomología como un objeto graduado en la categoría trenzada donde se encuentra A. Dichas hipótesis comprenden el caso en el que A es un álgebra de Hopf trenzada en la categoría de módulos de Yetter-Drinfeld sobre un álgebra de grupo kG, si A es de dimensión finita o G es finito.
La idea de estas dos charlas es contarles un par de cosas que estamos trabajando con mi tutora Andrea Solotar en el marco de mi tesis de doctorado, con la motivación de ejemplos como el Plano de Jordan y el Superplano de Jordan (donde tanto A como G se salen de las condiciones de finitud).
9 de junio: Pablo Zadunaisky, Universidad CAECE.
Preguntas sobre bases de Gelfand-Tsetlin (ver video)
Sea V = C^n y sea d un número entero positivo. El espacio V^{\otimes d} tiene una acción a izquierda del álgebra de Lie gl(V), y una acción a derecha del grupo simétrico S_d. Un teorema de Schur dice que V^{\otimes d} se descompone como bimódulo en una suma directa de módulos de la forma X \otimes Y, con X un gl(V)-módulo simple e Y un S_d-módulo simple. La demostración clásica de este resultado es casi puro abstract nonsense.
Sabiendo un poquito de teoría de representación de S_d y de gl(V) es posible identificar qué módulos aparecen en la descomposición. Por otro lado, los módulos simples sobre gl(V) y S_d tienen bases distinguidas, de las que ya hablé varias veces. ¿Cómo aparecen esas bases en V^{\otimes d}? En otras palabras, ¿cuál es su imagen por el isomorfismo de Schur? En la charla voy a repasar los detalles de estas construcciones, dar algunas respuestas parciales a esta pregunta, y plantear posibles aplicaciones de una respuesta explícita completa.
Este es un trabajo en colaboración con Joanna Meinel, que quizás se conecte y en ese caso haremos la charla en inglés.
2 de junio: Paula Verdugo, Macquarie University.
Dos estructuras modelo para categorías dobles*
En esta charla presentaré trabajo en colaboración con Lyne Moser y Maru Sarazola, que consiste en construir dos estructuras modelo para doble categorías. . Una propiedad que las diferencia de otras estructuras modelo previamente estudiadas es su compatibilidad con la teoría de homotopía de 2-categorías: ambas inducen la estructura modelo para 2-categorías introducida por Lack, utilizando (una variación de) la inmersión horizontal que a cada 2-categoría le asocia de manera canónica una doble categoría con morfismos verticales triviales. Antes de introducir estas estructuras, recordaré el concepto de estructura modelo como herramienta para estudiar teorías de homotopía.
Mayo
26 de mayo: Maru Sarazola, Cornell University.
Pares de cotorsión y un teorema de localización en K-teoría (ver video)
Los pares de cotorsión fueron introducidos en los 70 como una generalización de los objetos proyectivos e inyectivos en una categoría abeliana, y fueron utilizados principalmente en el contexto de teoría de representaciones. En el 2002, Mark Hovey probó una correspondencia genial entre (pares de) pares de cotorsión en una categoría abeliana A, y las estructuras modelo que se pueden definir en A. Estas incluyen, por ejemplo, las estructuras modelo proyectivas e inyectivas en la categoría de complejos de cadenas. mediante una cofibra, construida a partir de un par de cotorsión.
En esta charla nos enfocaremos en las categorías de Waldhausen, y veremos cómo es posible usar pares de cotorsión para construir estructuras de Waldhausen en una categoría exacta. Estas tendrán la clase usual de monomorfismos como cofibraciones, y cierto grado de libertad para elegir la clase de objetos acíclicos. En particular, esta construcción nos permitirá probar una nueva versión del teorema de localización de Quillen, que relaciona la K-teoría de categorías exactas A⊂B mediante una cofibra, construida a partir de un par de cotorsión.
12 de mayo: Hipolito Treffinger, Universidad de Bonn.
Diagramas de dispersión algebraicos y su coherencia*
Los diagramas de dispersión fueron introducidos en geometría para estudiar la conjetura de simetría especular y recientemente fueron utilizados para probar muchas conjeturas en la teoría de álgebras de conglomerado.
Luego de dar un repaso somero sobre la historia de los diagramas de dispersión, en esta charla vamos a mostrar cómo uno puede asociarle un diagrama de dispersión a todo álgebra de dimensión finita y explicaremos sus propiedades. Haremos énfasis en la noción de coherencia de un diagrama de dispersión. En particular, en esta charla daremos una nueva demostración del hecho que el diagrama de dispersión de un álgebra es coherente basándonos en las teorías de torsión de su categoría de módulos.
5 de mayo: Pablo Zadunaisky, Universidad CAECE.
Charla cancelada.
Abril
28 de abril: Ana Garcia-Elsener.
Extensiones que no se parten en álgebras jacobianas (ver video)
21 de abril: Pedro Tamaroff, Trinity College, Dublin.
El lema del diamante a través del álgebra homotópica (ver video)
El lema del diamante es un resultado indispensable para estudiar álgebras asociativas presentadas por generadores y relaciones (y otros tipos de álgebras). En esta charla, voy a explicar cómo descubrirlo usando los métodos del álgebra homotópica: veremos como toda resolución de un álgebra monomial (en tanto álgebra dga) produce su "propio" lema del diamante, que queda a su vez codificado en la ecuación de Maurer--Cartan de su álgebra de Lie de derivaciones. La charla está basada en nuestro trabajo con Vladimir Dotsenko (arXiv:2010.14792).
14 de abril: Hipolito Treffinger, Universidad de Bonn.
Un ejemplo de sistema estratificante de tamaño infinito (ver video)
7 de abril: Adriana Fonce Camacho, Universidad de Antioquia, Colombia.
Deformations of finitely generated modules over a repetitive algebra (ver video)
Let A be a basic finite dimensional algebra over an algebraically closed field k, and let  be the repetitive algebra of A. In this talk, we introduce a recently developed theory about deformations of finitely generated modules over a repetitive algebra. More precisely, we prove that, if V is a left Â-module with finite dimension over k, then V has well-defined versal deformation ring R(Â,V), which is a local complete Noetherian commutative k-algebra with residual field k. We also prove that in this situation R(Â,V) is invariant under syzygy operator and projective summands as long as End(V) = k. These results have a close relation with several deformation theories of finite dimensional self-injective k-algebras, whose ideas are influenced by deformation theory of Galois representation developed by B. Mazur.
Marzo.
31 de marzo: Pablo Zadunaisky, Universidad de Buenos Aires.
Categorías de peso máximo asociadas a gl(\infty) (ver video)
Vamos a repasar la definición de categorías de peso máximo, y ver unos cuántos ejemplos que surgen de la teoría de representación de álgebras de Lie de dimensión finita, en particular de la categoría O. Luego vamos a pasar a hablar de representaciones del álgebra de Lie de dimensión infinita gl(\infty), y algunos análogos de la categoría O y sus variantes parabólicas. En particular vamos a ver que estos análogos son categorías de peso máximo. Las representaciones de estas categorías son “localmente pequeñas” en un sentido técnico estricto; voy a terminar contando algunos problemas que quedaron colgados con respecto a estas condiciones.
24 de marzo: Feriado.
17 de marzo: Francisco Kordon, Universidad de Buenos Aires.
El primer espacio de cohomología de Hochschild del álgebra conmutativa de un par de Lie-Rinehart a valores en su álgebra envolvente (ver video)
Una familia de álgebras de operadores diferenciales interesante es la de las álgebras envolventes U=U(S,L) a pares de Lie-Rinehart dados por un álgebra conmutativa S y un álgebra de Lie L. Éste es el caso, por ejemplo, de las álgebras de operadores diferenciales asociadas a arreglos de hiperplanos. En búsqueda de calcular la cohomología de Hochschild HH(U) un paso intermedio es la cohomología de Hochschild H(S,U): en esta charla vamos a hablar del cálculo de primer espacio H1(S,U) mostrando, siguiendo la tradición del SAHHAS, cómo se hacen las cuentas. Obtendremos como consecuencia el primer espacio de cohomología del álgebra de operadores diferenciales asociada a un arreglo de trenzas. Trabajo en progreso con Thierry Lambre de la Université Clermont Auvergne.
Organizadores:
Cristian Chaparro - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
* No hay video.