Resumen

La dimensión y el grado de una variedad algebraica V (de manera abreviada dim(V) y deg(V)) son los invariantes asociados a variedades más elementales en geometría algebraica y ambas nociones pueden considerarse como medidas de la dificultad en el tratamiento (global, no local) de una variedad V. Geométricamente, la dimensión mide la cantidad de grados de libertad para moverse dentro de V y de manera más precisa la dimensión máxima de una variedad lineal que sea proyección de V. Por su parte, la noción de grado intenta generalizar el grado de una ecuación, interesándose por la “sinuosidad” de la variedad V, partiendo de las variedades lineales (que tienen grado 1).

Para una variedad algebraica V, se puede considerar su fibrado tangente y verificar que este tiene una estructura de variedad algebraica. Mientras que la relación entre dim(V) y dim(TV) ha sido bien estudiada y generalizada (Kunz, 1999), no hemos encontrado ningún rastro sobre un estudio más o menos sistemático en el caso del grado del fibrado tangente.

En esta charla, presentaré cotas para el grado del fibrado tangente y la variedad tangencial de una variedad algebraica afín suave V en términos del grado geométrico de V. En primer lugar, exploraremos el caso de las curvas, mostrando una relación explícita entre estos grados. En el caso de variedades de dimensión arbitraria, demostramos cotas superiores generales para los grados del fibrado tangente y la variedad tangencial de V que son exponenciales en la dimensión o co-dimensión de V, y una cota cuadrática que se cumple para variedades definidas por polinomios genéricos. Finalmente, veremos que la propiedad deg(V) = deg(TV) caracteriza a las variedades lineales.

Trabajo realizado en conjunto con: Gabriela Jeronimo y Pablo Solernó.

Referencias:

1. On the tangent bundle of a scheme, E. Kunz, 1999.
2. On the geometric degree of the tangent bundle of an algebraic variety, G. Jeronimo, P. Solernó, L. Lanciano, 2024.